מבוא + סדרות ואינדוקציה (גליונות מתנט 1+2)

סדרות ואינדוקציה שאלה מס' 55

סדרות ואינדוקציה שאלה מס' 55

על ידי נטיב מאור בתאריך
מספר תגובות: 3

שלום מיכל, 

נתקלתי בבעיה בשאלה מס' 55 - 
הטענה אינה נכונה לכל n=1 ולכן גם ההוכחה אינה נכונה. 
בסעיף ב' נתבקשתי לכתוב נוסחא פשוטה לSn וניסיתי לכתוב את הנוסחא n/n+1 כיוון שזוהי הנוסחא שמצאתי נכונה לכל n שהצבתי. 
לדוגמא : אם n=2 אזי : ניקח את שני האיברים הראשונים - 2*1/1 ואת 3*1/2 ונחבר אותם. לאחר חיבור יצא שבר רציונאלי - 2/3 . 
מה שאומר שהנוסחא לסכום הינה ה-n עצמו לחלק לאיבר הבא - n+1.  (לכל n טבעי)

לצערי תשובה זו התגלתה כטעות במערכת. אפשר בבקשה הסבר למה ? ואיך אפשר להגיע לנוסחא הנכונה ? 


בתגובה ל: נטיב מאור

תשובה ל: סדרות ואינדוקציה שאלה מס' 55

על ידי מיכל קליינשטרן בתאריך

מה הכוונה אינה נכונה לכל n=1? מדוע?

הכלל של איבר בסדרה נתון ע"י הביטוי הנתון בשאלה  Sn=....

למעשה לפי המחובר האחרון אפשר לקבוע מהו האיבר האחרון בסכום (עד איפה סוכמים)

 

 האיבר הראשון בסדרה מתקבל עבור  n=2  ואם נציב במחובר האחרון נקבל

S2=1/(1*2)

האיבר הבא בסדרה מתקבל עבור  n=3 ואם נציב במחובר האחרון נקבל אחד חלקי 2*3 ולכן יש לסכום עד איבר זה ולכן כלומר:

S3=1/(1x2) +1/(2x3)

וכן הלאה ...

למעשה סוכמים עד מה שכתבת.

בתגובה ל: מיכל קליינשטרן

תשובה ל: סדרות ואינדוקציה שאלה מס' 55

על ידי נטיב מאור בתאריך

בנוגע ל- n=1 : הטענה אינה נכונה כיוון שאם נציב 1 במקום n במחובר האחרון, נקבל 1 חלקי 0 - משמע אין ביטוי כזה. ואז ניתן לומר שהטענה לא נכונה עבור n=1.
 
בנוגע לסכימת האיברים עד 3. הכוונה היא שסוכמים עד n=3 ? או הכוונה היא לסכום של שלושה איברים ? (זה משנה כיוון שהאיבר הראשון בסכום הוא נכון ל- n=2  ולא ל- n=1, ואז הסכום מתחיל מ-n=2). 

בנוגע לנוסחא של sn - כלומר, אם סוכמים את האיבר הראשון (אשר בשבילו n=2) והשני (אשר עבורו n=3) זה בעצם יהיה S3 כי סוכמים עד n=3 (ממה שכתבת קודם).
מכאן נובע שהתוצאה של הסכום (S3=1/(1x2) +1/(2x3 
היא 2/3 - משמע : (n-1) חלקי n. 

האם זה נכון ?