מספרים מרוכבים

1. בניית המספרים המרוכבים (3 קליפים, 0:32 שעות)

קליפ 1 - מספרים מרוכבים (12 דקות) - המספרים המרוכבים כהרחבה טבעית למספרים הטבעיים N, השלמים Z, הרציונלים Q והממשיים R, הגדרת המרוכבים C על ידי הוספת שורש של -1, שמסומן i, לממשיים

קליפ 2 - קצת היסטוריה של המרוכבים (9 דקות) - החל מהופעת שורשים של מספרים שליליים בפתרון משוואות במאה ה-16, דרך דקרט (שקרא למספר i "דמיוני") ואוילר, ועד גאוס, קושי ורימן במאה ה-19

קליפ 3 - תיאור של מספר מרוכב (11 דקות) - צורה אלגברית של מספר מרוכב z=a+bi, חלק ממשי Re(z)  ומדומה Im(z), תיאור גיאומטרי במישור, ציר ממשי וציר מדומה

2. פעולות ב C (סה"כ 4 קליפים, 0:45 שעות)

קליפ 4 - שוויון, חיבור וחיסור מרוכבים (13 דקות) - הגדרת הפעולות בהצגה האלגברית של מרוכבים, ההתאמה לחיבור וקטורים, 0 הוא אדיש לחיבור

קליפ 5 - כפל מרוכבים (10 דקות) - הגדרת הכפל בהצגה האלגברית, 1 הוא אדיש לכפל

קליפ 6 - תכונות של הפעולות במרוכבים (12 דקות) - חוקי החילוף, הקיבוץ והפילוג עבור חיבור וכפל מרוכבים

קליפ 7 - אין יחס סדר במרוכבים (10 דקות) - אין משמעות ל- z>w במרוכבים, כלומר לא מגדירים על C יחס סדר כמו ב-R

3. צמוד ומודול של מספר מרוכב (5 קליפים, 1:02 שעות)

קליפ 8 - צמוד של מספר מרוכב (14 דקות) - הגדרת הצמוד של a+bi על ידי a-bi, תכונות הצמוד כמו שמספר כפול הצמוד שלו הוא תמיד ממשי אי-שלילי

קליפ 9 - צמוד של סכום ומכפלה (13 דקות) - צמוד של סכום שווה לסכום הצמודים, צמוד של מכפלה שווה למכפלת הצמודים

קליפ 10 - מודול של מספר מרוכב (10 דקות) - הגדרה אלגברית וגיאומטרית של המודול, המסומן |z|

קליפ 11 - תכונות של מודול (14 דקות) - כללים כמו מודול של מספר שווה למודול של הצמוד, מספר כפול הצמוד שווה למודול בריבוע

קליפ 12 - מודול של סכום ושל מכפלה (11 דקות) - מודול של מכפלה שווה למכפלת המודולים, אי שוויון המשולש (מודול של סכום קטן או שווה לסכום המודולים)

4. חילוק מרוכבים (4 קליפים, 0:35 שעות)

קליפ 13 - חילוק מספרים מרוכבים (11 דקות) - הגדרת חילוק מרוכבים בהצגה אלגברית, אימות שאכן החילוק הוא הפעולה ההפוכה לכפל

קליפ 14 - הופכי של מספר מרוכב (6 דקות) - ההופכי 1/z מוגדר להיות הצמוד חלקי המודול בריבוע

קליפ 15 - צמוד של מנה (10 דקות) - צמוד של מנה שווה למנת הצמודים

קליפ 16 - מודול של מנה (8 דקות) - מודול של מנה שווה למנת המודולים

5. הצגה טריגונומטרית (5 קליפים, 1:05 שעות)

קליפ 17 - הצגה טריגונומטרית של מספר מרוכב (14 דקות) - ההצגה הטריגונומטרית z=r(cosθ+isinθ) ובכתיבה מקוצרת z=rcisθ, כאשר r הוא המודול ו-θ היא הזווית לציר הממשי החיובי (הארגומנט), הקשר בין הצגה אלגברית לטריגונומטרית

קליפ 18 - מעבר בין הצגה אלגברית וטריגונומטרית (8 דקות) - דוגמאות למעבר בין הצורה האלגברית a+bi לצורה הטריגונומטרית rcisθ

קליפ 19 - הארגומנט (16 דקות) - התייחסות לארגומנט כאל קבוצה {θ+360k | k in Z}, ל-0 אין ארגומנט, הקשר a=rcosθ, b=rsinθ תקף בכל הרביעים

קליפ 20 - מציאת הארגומנט (15 דקות) - מציאת θ עבור z=a+bi מחייבת לשים לב לרביע בו z נמצא

קליפ 21 - חיבור וחיסור בהצגה טריגונומטרית (12 דקות) - הסבר מדוע חיבור וחיסור כדאי לעשות רק בהצגה אלגברית

6. כפל וחילוק בהצגה טריגונומטרית ונוסחת דה מואבר (4 קליפים, 0:52 שעות)

קליפ 22 - כפל בהצגה טריגונומטרית (15 דקות) - הנוסחה הפשוטה לכפל בהצגה טריגונומטרית (כופלים את המודולים ומחברים את הארגומנטים)

קליפ 23 - חילוק בהצגה טריגונומטרית (13 דקות) - הנוסחה הפשוטה לחילוק בהצגה טריגונומטרית (מחלקים את המודולים ומחסרים את הארגומנטים)

קליפ 24 - נוסחת דה-מואבר (12 דקות) - הנוסחה להעלאה בחזקה של מספר מרוכב

קליפ 25 - הוכחת זהויות טריגונומטריות בעזרת מרוכבים (12 דקות) - שימוש במספרים מרוכבים ובנוסחת דה מואבר כדי להוכיח את הזהויות עבור sin(3θ) ו-cos(3θ)

 

שינוי אחרון: 14/08/2018, 09:24